Single Site Domain Mapping möglich?

Hallo Zusammen,
ich habe bisher nicht den passenden Artikel im Netz nicht gefunden oder nach dem falschen gesucht.

Ich versuche es an einem Beispiel:
Ich habe eine WP-Installation auf meinem Server. Die ist z.B. bei All Inkl. (Fiktiv).
Mein Kunde hat aber deine Domain bei z.B. 1und1 (Fiktiv) gekauft und auch schon Email etc. eingerichtet.
Jetzt möchte ich aber nicht diese Installation bei 1und1 Hosten sondern diese sollte bei mir auf dem Server bleiben. Das bedeutet ja, es müsste eine DNS Umleitung stattfinden, oder?

Wie kann ich das am besten umsetzen?
Ich möchte möglichst auf eine Multisite verzichten.

Mit den Domain Mapping Plugins geht das wohl nicht oder ich habe bisher noch nicht das passende gefunden! Hat da jemand einen Rat?

Viele Grüße und Danke,
Micha