Websiteeinträge lokal speichern?

Die Daten (Texte, Beiträge usw.) werden in einer Datenbank gespeichert. Die kann man nicht einfach per FTP sichern.
Hierzu muss die Datenbank gesichert werden. Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten. Vielleicht lässt du dich von einem
Fachmann/frau beraten oder besser noch, Ihr lasst es durch einen Umsetzen und erledigt später nur noch die Pflege.

Ganz nebenbei, man zieht erst über einen Vorgänger her, wenn man wirklich mehr Ahnung als er von der Materie hat

 

Man kann:

1. Die Datenbank sichern, entweder mit den Werkzeugen die der Webhoster dafür zur Verfügung, bei Deinem wie bei den allermeisten anderen auch, ist das phpMyAdmin, (i.d.R.) zu erreichen über das Kundenbackend des Webhosters.
2. Die Datenbank sichern über ein Plugin, davon gibt es wohl hunderte, ein einfach zu bedienendes, welches nur die Datenbank bearbeiten und sichern kann, ist z.B. der WP-DBManager.
3. Eine Komplettsicherung durchführen, dafür empfehlen sich Plugins wie BackWPup, mit dem man bei Bedarf selektiv auch nur die Datenbank oder andere Teilelemente einer WP-Installation sichern kann oder sog. Migrations- bzw. Klone-Plugins wie u.a. Duplicator, die neben einer Komplettsicherung, auch ein Script zum automatisierten migrieren/klonen einer WP-Installation erzeugen.
4. Nur den Inhalt der Beiträge/Seiten per hauseigener Exportfunktion sichern, dabei werden diese als XML-Dateien exportiert, die sich dann wiederum in jede andere WP-Installation mit den hauseigenen Mitteln importieren lassen, hier hat man allerdings den Nachteil, dass man sich um die Mediadateien innerhalb der Beiträge/Seiten von Hand kümmern muss, falls dies auch an einen anderen Ort umziehen sollen.
5. Die Inhalte auch sichern, indem man sie mittels geeigneter Plugins in nahezu alle gängigen offenen und geschlossenen Dateiformate umwandelt und dann exportiert, die für digitale Texte mit Bildinhalten zur Verfügung stehen, ein Import ist dann allerdings nicht immer (ohne Einschränkungen) möglich.
6. Die komplette Website oder Teile davon auch aus dem Frontend sichern, entweder indem man sie von Hand z.B. in eine Textverarbeitung kopiert, einzeln im Browser abspeichert oder (teil)automatisiert mit einem sog. Offline-Reader wie u.a. WinHTTrack downloaded. Bei Bedarf können die Inhalte dann wieder von Hand oder mit geeigneten Plugins (teil)automatisiert importiert, bzw. als entkernte datenbankfreie statische Kopie betrieben werden, die dann aber nicht mehr über das WP-Adminbackend editierbar ist.

Wann man nun auf welche Lösung zurückgreift, hängt vom Status der jeweiligen WP-Installation und dem gewünschten Ziel ab.

Wenn die WP-Installation noch läuft, dann lege einfach einen Klone an, experimentiere damit und baue Deine neue Website mit den alten Inhalten auf und wenn der Klone dann die Wunschvorstellungen erfüllt und einwandfrei funktioniert, klone diesen zurück an den Ort der alten Originalinstallation, so stellst Du sicher, dass es zu keinem Totalausfall mit Leerlaufzeit kommt, der evtl. erst nach längerer Dauer wieder behoben werden kann.

Ja, s.o.

Nein, alles sicher nicht, denn die eigentlichen Inhalte einer WP-Installation liegen in einer Datenbank (die bei einem üblichen Webhostingpaket wie bei Deinem Webhoster ebenso, auch noch auf einem anderen Server liegt, als der Rest Deiner WP-Installation), die man nicht einfach so per FTP sichern kann.

Was ist das für ein Vertrag, der sollte mal dringend aufgestockt werden oder besser noch in einen größeren überführt werden.

S.o.